O mundo científico produz, atualmente, aquilo que parece ser a busca de versões universalistas para suas metodologias de trabalho. Modelos de redes neurais artificiais e de emergência de comportamentos auto-organizados, presentes no dia a dia da Física-Matemática, apontam para a integração efetiva das diversas áreas de conhecimento.
O desenvolvimento das técnicas computacionais e a intensa compactação da eletrônica disponibilizam instrumental capaz de aproximar Sociologia e Psicologia dos indivíduos e seus grupos; Biologia das células, tecidos, órgãos, sistemas e populações; Física e Química dos átomos e moléculas.
A dificuldade de integração sempre esteve ligada ao fato de que o estudo de fenômenos biológicos, psicológicos e sociológicos envolve interação entre sistemas complexos interligados, apresentando forte sensibilidade a perturbações e grande riqueza de comportamentos dinâmicos possíveis.
No panorama da Física do final do século 19 e início do século 20, importantes mudanças de paradigma ocorreram com as teorias da relatividade, restrita e geral, mecânica quântica e o desenvolvimento da física estatística, esta tratando de sistemas com grande número de partículas e se aproximando de possíveis estratégias para a modelagem de sistemas biológicos e sociais.
Como impulso a essa extensão de ideias, acredito que o trabalho de Henri Poincaré (1854-1912) exerceu importante papel ao propor que sistemas mecânicos modelados por equações diferenciais determinísticas podem apresentar comportamentos aparentemente aleatórios e sensíveis a pequenas variações de parâmetros ou de condições iniciais.
Esses comportamentos que, com as facilidades computacionais atuais, podem ser simulados e estudados em detalhe, devem-se às não linearidades inerentes à natureza e que passam a ser consideradas nos modelos matemáticos e físicos. Com figuras fascinantes de trajetórias entrelaçadas desenhadas em telas de computadores e telefones celulares, essa linha de pensamento popularizou-se sob a denominação de Teoria do Caos.
Por volta do ano de 1984, depois de concluir os créditos das disciplinas, eu procurava um tema para a tese de doutorado. Em textos anteriores já falei que meu orientador, professor Jocelyn Freitas Bennaton (Jô), com fortes pendores à modelagem matemática de problemas de engenharia, dirigia seus esforços para problemas descritos por equações diferenciais estocásticas.
Falando de maneira simplificada, o Jô trabalhava com modelos matemáticos cujas equações continham termos descritos por variáveis aleatórias. Considerando que, na época, eu trabalhava na indústria de telecomunicações, resolvemos estudar a influência dos diversos tipos de ruído nos processos de recuperação do sincronismo nos nós de uma rede de comunicações.
Estudando alguns artigos sobre ruído em circuitos eletrônicos, me deparei com a afirmação: para algumas combinações de parâmetros o circuito pode apresentar comportamentos aleatórios apesar de não haver fonte de ruído presente. Era a engenharia começando a entender como os fenômenos caóticos e auto-organizados e sua possível universalidade apareciam nos circuitos elétricos.
Nessa época, no mundo dos matemáticos e físicos, o estudo dos sistemas dinâmicos não lineares estava bastante adiantado mas, ainda, pouco difundido nas engenharias.
Desde a graduação, sempre tive amigos físicos. Em particular, o professor José Roberto Drugowich de Felício (Drugo), ao me ouvir sobre o ruído dos circuitos, mostrou-me a ideia de caos e universalidade dos fenômenos de turbulência, que era bastante explorada por Mitchell Jay Feigenbaum (1944-2019) pelo uso de uma equação dinâmica muito simples, conhecida como mapa logístico.
Esses fatos me levaram a estudar os sistemas dinâmicos não lineares, presentes nos mais diversos fenômenos da natureza: ritmos biológicos, turbulência em fluidos, competição entre espécies, ventos em estruturas, armazenamento de energia, interações entre neurônios, formação de fitofisionomias, modelos de epidemiologia.
Como exemplo é possível partir do modelo populacional proposto por Thomas Robert Malthus (1766-1834). Clérigo, economista e matemático, Malthus é considerado o iniciador das ciências demográficas cujo princípio afirmava que o crescimento da população humana tenderia a superar a capacidade de produzir alimentos.
Leonhard Paul Euler (1707-1783) deu a essas ideias a formulação matemática de uma equação diferencial de primeira ordem, cuja interpretação previa ser inevitável a tendência ao aumento da pobreza.
Pierre François Vershust (1804-1849) propôs uma modificação no modelo de Malthus, assumindo que alimento e espaço físico ocupado por uma dada espécie são finitos, impedindo que o crescimento de uma população seja ilimitado.
O modelo de Vershust, versão modificada do proposto por Malthus, passou a ser denominado Modelo Populacional Logístico, transformando-se em parte do acervo metodológico dos trabalhos de previsão demográfica.
Em 1983, Feigenbaum publicou na revista Physica D o artigo Universal Behavior in Non-linear Systems, retomando o modelo logístico e atribuindo a um dos coeficientes da equação a função de parâmetro de controle que, ao variar, implica ampla gama de comportamentos possíveis.
Esses comportamentos aparecem como sucessivas duplicações de período à medida que o parâmetro de controle aumenta, em um dado intervalo. Essas duplicações de período (2; 4; 8; 16; ….) que coexistem no comportamento dinâmico do sistema levam ao caos, isto é, comportamento semelhante ao aleatório em uma equação determinística.
A conjectura do artigo de Feigenbaum é que os comportamentos caóticos e/ou turbulentos podem, de maneira geral, ser modelados por cascatas de duplicação de período análogas às observadas na equação logística.
A conjectura não foi provada e há quem a critique ferozmente. Mas a curiosidade e ousadia sobre essa possível universalidade podem levar a pesquisas interessantes nas diversas aplicações da teoria dos sistemas dinâmicos.
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